Razones trigonométricas principales

Tras realizar las actividades que te dejo en este enlace, he llegado a la siguiente conclusión:

SENO DE UN ÁNGULO AGUDO

Al ser el ángulo más grande, tanto el cateto opuesto como la hipotenusa del mismo cambian de valor, por lo que el seno del ángulo agudo también cambia. Por otra parte, si cambiamos el valor del cateto adyacente, los valores de la hipotenusa y el cateto opuesto cambian, pero el seno del ángulo permanece constante. Por otro lado, he llegado a la conclusión de que el valor de la razón depende de la longitud del cateto y la hipotenusa y de que el valor mínimo del seno de un ángulo es 0 y el máximo es 1.

COSENO DE UN ÁNGULO AGUDO

Al ser el ángulo más grande, el valor de la hipotenusa cambia, por lo que el valor del coseno del ángulo también lo hace; sin embargo, el valor del cateto adyacente permanece constante. Por otra parte, si cambiamos el valor del cateto adyacente, los valores del cateto adyacente y la hipotenusa cambian, mientras que el coseno del ángulo permanece igual, ya que ambos valores (cateto adyacente e hipotenusa) son proporcionales. Además, el valor de la razón depende de la longitud del cateto adyacente y la hipotenusa.Y por último, he llegado a la conclusión de que el valor mínimo del coseno de un ángulo es 0'017 y el máximo es 1.

TANGENTE DE UN ÁNGULO AGUDO

Al ser el ángulo más grande, el valor de la hipotenusa y el del cateto opuesto cambian, por lo que el valor de la tangente del ángulo también cambia; sin embargo, el valor del cateto adyacente es constante. Si cambiamos el valor del cateto adyacente, los valores del cateto opuesto y el adyacente cambian, sin embargo, el valor de la tangente se mantiene constante. Por otro lado, el valor de la razón depende de la longitud del cateto opuesto y de cateto adyacente. Finamente, me he dado cuenta de que el valor mínimo de la tangente de un ángulo es 0 y el máximo es 57'29.

SA4: Midiendo distancias y ángulos (trigonometría)

El pasado lunes, 8 de enero, hemos empezado en clase una nueva unidad con el fin de conseguir los siguientes objetivos:

1. Calcular todas las razones trigonométricas de un ángulo.

2. Hallar todas las razones trigonométricas de un ángulo a partir de una de ellas.

3. Resolver triángulos rectángulos cuando se conocen dos lados o un lado y un ángulo.

4. Resolver problemas geométricos en los que se precise calcular ángulos y distancias entre dos puntos.

5. Utilizar la calculadora para obtener razones o ángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.

Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

Dibujo del triángulo rectángulo para el cálculo de las razones trigonométricas:

El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).

El coseno se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).

La tangente es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).

Mes bonnes résolutions pour 2018

Nous avons commencé 2018 avec de bonnes résolutions. Mardi dernier, le 9 janvier, nous avons écrit en classe nos résolutions pour cette nouvelle année:



1. Je vais faire du sport parce que je veux être plus fort.
2. Je vais arrêter les ongles parce que je veux avoir una belle main.
3. Je vais être moins nerveux dans les examens pour obtenir meilleur note.
4. Je vais participer plus en classe parce que je veux maintenir ma note.
5. Je vais dépenser moins d'argent dans des choses inutiles parce que c'est une grande erreur.
6. Je vais profiter plus des bons moments avec mes amis et oublier mes problèmes parce que je vais mieux me sentir.
7. Arrêter de manger au McDonald's

Et vous, vous n'avez pas encore rédigé votre liste de bonnes résolutions pour la nouvelle année?, je vous conseille de le faire en utilisant le futur proche, vous savez, le verbe aller à l'indicatif présent suivi de l'infinitif du verbe que vous allez employer:



Voilà un exemple: Cette année je vais apprendre le français.

Le structure: sujet + "aller" (au présent) + infinitif
Cliquer sur

Diagonales

¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 20 lados (isodecágono o icoságono)? No, no hace falta que las dibujemos y las contemos una a una. Para llegar a saber cuántas, sigue el procedimiento que te indica la actividad de este enlace. Todas estas actividades podrás comprobarlas mediante la aplicación Geogebra.

Solución:

Un isodecágono o icoságono (polígono de 20 lados) tiene 170 diagonales, resultado que se puede obtener aplicando la ecuación general para determinar el número de diagonales de un polígono:

D = n·(n − 3) / 2 (siendo el número de lados n = 20), eso sería:

D = 20·(20 − 3)/2=

= 20 · 17/2 =

=340/2= 170

A continuación, les mostraré la "rosa mística" hemos realizado el último día en clase con un polígono de 20 lados mediante Geogebra.

Ecuaciones de 2º grado

Una ecuación de segundo grado es toda aquella expresión de la siguiente forma:

ax2 + bx +c = 0

Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

Algunos ejemplos:

1.  

2.

¡Aquí debajo te dejo un enlace para que puedas seguir practicando!
Pincha aquí

Problemas de sistemas de ecuaciones lineales

Aunque estamos solo a escasos días de esas fiestas tan señaladas, la Navidad🎄, nosotros seguimos trabajando. En esta última semana, hemos cambiado de profesora de matemáticas y gracias a ella hemos reforzado y aprendido los pasos que hay que llevar a cabo antes de resolver un problema de sistemas de ecuaciones lineales. Para ello debemos:

1. Antes de comenzar, realizar una lectura detenida del mismo. Familiarizarnos con el problema es clave antes de empezar a resolverlo.

2. Una vez hemos entendido el contexto y el tipo de problema que se nos plantea, debemos realizar el planteamiento del mismo.

3. Si es necesario, realizaremos un dibujo, una tabla, o una representación de lo expuesto. Una vez hecho,intentamos identificar la incógnita y los datos que aporta el problema.

4. Para plantear las ecuaciones volveremos al problema y debemos "traducir" el mismo a una expresión algebraica.

5. En este tipo de problemas con más de una incógnita debemos encontrar tantas ecuaciones como incógnitas se nos presenten. Es decir, si tenemos dos incógnitas debemos encontrar dos ecuaciones, si tenemos tres, tres ecuaciones.

6. El siguiente paso es resolver el sistema de ecuaciones.

7. Por último, y muy importante, debemos interpretar la solución.

EJEMPLO:

1. Con dos camiones cuyas capacidades de carga son respectivamente de 3 y 4 toneladas, se hicieron 23 viajes para transportar 80 tonelada de madera. ¿Cuántos viajes realizó cada camión?

        Si llamamos x a la cantidad de viajes que realizó el primer camión e y a la cantidad de viajes que realizó el segundo camión, podemos expresar algebraicamente la información que nos presenta el problema:

Información	Expresión algebraica
Cantidad de viajes del primer camión. Madera transportada por el primer camión.	x 3x
Cantidad de viajes del segundo camión.               Madera transportada por el segundo camión.	x                     4x
Total de madera transportada. Total de viajes.	3x + 4y = 80 x+ y = 23

El sistema de ecuaciones es entonces:

3x + 4y = 80

 x +    y = 23

Lo resolvemos:

3x + 4y = 80   ---------------->   3x + 4y = 80

 x +    y = 23   --·(-3)-------------->   -3x - 3y = -69

                                                          ------------------

                                                                   y = 11

x + y = 23

x + 11 = 23

x = 23 - 11

x = 12

Solución:

El camión de 3 toneladas realizó 12 viaje; sin embargo, el de 4 toneladas realizó 11 viajes.

Sistemas de ecuaciones

IGUALACIÓN

3x - 4y = -6

2x + 4y= 16

Para realizar este sistema de ecuaciones mediante la igualación debes seguir los siguientes pasos:

1º Se deja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2º Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3º Se resuelve la ecuación.

4º El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5º Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

¡Manos a la obra!

1º Despejamos, por ejemplo, la x de ambas ecuaciones:

3x = -6 + 4y                                                     2x = 16 - 4y

  -6 + 4y                                                                 16 - 4y

x = -----------                                                   x =  -------------

    3                                                                           2

2º Igualamos ambas expresiones:

-6 + 4y        16 - 4y

--------- = -----------

    3                 2

3º Resolvemos la ecuación:

2 · (-6 +4y) = 3 · (16 -4y)

-12 + 8y = 48 - 12y

8y + 12y = 48 + 12

20y = 60

     60

y = -------

      20

y = 3

4º Sustituimos el valor de y , en una de las dos expresiones que tenemos despejada la x:

       -6 + 4y                                                                 

x = -----------                                                   

             3                                                                       

-6 + 4 · 3             -6 + 12                       6

x = ------------- = ------------------ = -------------- = 2

     3                           3                             3

5º Solución:

x = 2 ; y = 3

SUSTITUCIÓN

3x - 4y = -6

2x + 4y= 16

Para realizar este sistema de ecuaciones mediante la sustitución debes seguir los siguientes pasos:

1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2º Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

3º Se resuelve la ecuación.

4º El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5º Los dos valores obtenidos constituyen la solución de sistema.

¡Vamos a solucionarlo!

1º Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el oeficiente más bajo, para que de esta manera sea más fácil.

Hemos elegido despejar la x de esta ecuación:

2x + 4y= 16

2x = 16 - 4y

      16 - 4 y

x = ---------------

      2

x = 8 - 2y

2º Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3x - 4y = - 6

3  · (8 - 2y) - 4y = - 6

3º Resolvemos la ecuación obtenida:

3  · (8 - 2y) - 4y = - 6

24 - 6y - 4y = -  6

24 - 10y = - 6

24 + 6 = 10y

30 = 10y

       30

y = -------

        10

y = 3

4º Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada:

x = 8 - 2y

x = 8 - 2 · (3)

x = 8 - 6

x = 2

5º Solución:

x = 2 ; y = 3

REDUCCIÓN

3x - 4y = -6

2x + 4y= 16

Para realizar este sistema de ecuaciones mediante la reducción debes seguir los siguientes pasos:

1º Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por os números que convenga.

2º La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3º Se resuelve la ecuación resultante.

4º El valor obtenido se sustituye en una de las dos ecuaciones iniciales y se resuelve.

5º Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

¡Esto es fácil!

1º En este caso, lo más fácil sería suprimir la y; sin embargo, vamos a suprimir la x para que podáis ver mejor el proceso.

3x - 4y = -6    ----- (· 2)------->;  6x - 8y = - 12

2x + 4y= 16    ---- · (-3)------->; -6x - 12y = -48

2º Restamos y resolvemos la ecuación:

   6x - 8y = - 12

 -6x - 12y = -48

----------------------

          - 20y = 60

 

        60

y = ------

        20

y = 3

3º Ahora, sustituimos el valor de la y en la segunda ecuación inicial:

2x + 4 · (3) = 16

2x + 12 = 16

2x = 16 - 12

2x = 4

     4

x = -------

    2

x = 2

4º Solución:

x = 2 ; y = 3

Hemos podido comprobar que, al utilizar el mismo sistema y solucionarlo mediante igualación, sustitución y reducción, ¡el resultado es el mismo!

Aquí debajo te dejaré unos vídeos para que puedas entenderlo sin mayor problema.

IGUALACIÓN

SUSTITUCIÓN

REDUCCIÓN