Aplicación de la trigonometría en áreas de polígonos regulares

La resolución de un polígono regular trigonometricamente se puede realizar sabiendo su número de lados y uno de sus lados.

Un polígono regular es un polígono con todos los lados y ángulos iguales.

Supongamos que dicho polígono regular está circunscrito en una circunferencia (C).

Conociendo el número de lados (N) del polígono y uno de sus lados (L), se pueden calcular el radio (r) de la circunferencia en la que está circunscrito, la apotema (ap), el área y el perímetro de éste.

Para hallar la medida en grados que presenta el ángulo central agudo de uno de los triángulos rectángulos tenemos que aplicar la siguiente fórmula:

         360º

a = ----------             Siendo n el número de triángulos que presenta el polígono

             n

CALCULAR LA APOTEMA

Mediante las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) del triángulo OAB, se calcula la apotema (ap) del polígono.

CALCULAR EL RADIO

El radio de la circunferencia circunscrita, al igual que la apotema se calcula mediante las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) del triángulo OAB.

CALCULAR EL ÁREA

El área del polígono regular se calcula mediante la siguiente fórmula:

Sin embargo, existe una manera menos complicado de hallar el área de un polígono regular sin utilizar la anterior fórmula. Pues para ello, tenemos que tener claro que la fórmula para calcular el área de un triángulo rectángulo es:

                                                  Siendo b la base y h la altura del triángulo rectángulo.

En esta fórmula, lo único que tenemos que hacer es sustituir; pues la base del triángulo equivale al perímetro del polígono y la altura del triángulo a la apotema del polígono.

Por otro lado, y muy IMPORTANTE, tenemos que saber que cada lado de un polígono está formado por dos triángulos rectángulos, por lo que en la fórmula del triángulo rectángulo tenemos que multiplicar según el número de triángulos que haya, es decir:

         b ∙ h

A = -------- ∙ (número de triángulos rectángulos que tenga el polígono)

            2

Para hallar el número de triángulos rectángulos que presenta un polígono regular, lo único que tendremos que hacer es multiplicar el número de lados por 2, es decir:

Polígono regular de 5 lados: 5 ∙ 2 = 10 triángulos rectángulos

Polígono regular de 9 lados: 9 ∙ 2 = 18 triángulos rectángulos

Polígono regular de 6 lados: 6 ∙ 2 = 12 triángulos rectángulos

EJEMPLO 1:

La longitud del radio de un pentágono regular es de 15 cm. Calcula el área.

          360º : 10 = 36º

                     c                                         b

sin 36º = ------             cos 36º = ---------

                    15                                       15

                    c                                     b

0'59 = ----------             0'81 = ---------

                  15                                       15

c = 0'59 ∙ 15                     b = 0'81 ∙ 15

c = 8'85 cm                      b = 12'15 cm

            12'15 ∙ 8'85

A = …........................ ∙ 10 = 537'64 cm²

                         2

El área del pentágono es 537'64 cm²

Razones trigonométricas principales

Tras realizar las actividades que te dejo en este enlace, he llegado a la siguiente conclusión:

SENO DE UN ÁNGULO AGUDO

Al ser el ángulo más grande, tanto el cateto opuesto como la hipotenusa del mismo cambian de valor, por lo que el seno del ángulo agudo también cambia. Por otra parte, si cambiamos el valor del cateto adyacente, los valores de la hipotenusa y el cateto opuesto cambian, pero el seno del ángulo permanece constante. Por otro lado, he llegado a la conclusión de que el valor de la razón depende de la longitud del cateto y la hipotenusa y de que el valor mínimo del seno de un ángulo es 0 y el máximo es 1.

COSENO DE UN ÁNGULO AGUDO

Al ser el ángulo más grande, el valor de la hipotenusa cambia, por lo que el valor del coseno del ángulo también lo hace; sin embargo, el valor del cateto adyacente permanece constante. Por otra parte, si cambiamos el valor del cateto adyacente, los valores del cateto adyacente y la hipotenusa cambian, mientras que el coseno del ángulo permanece igual, ya que ambos valores (cateto adyacente e hipotenusa) son proporcionales. Además, el valor de la razón depende de la longitud del cateto adyacente y la hipotenusa.Y por último, he llegado a la conclusión de que el valor mínimo del coseno de un ángulo es 0'017 y el máximo es 1.

TANGENTE DE UN ÁNGULO AGUDO

Al ser el ángulo más grande, el valor de la hipotenusa y el del cateto opuesto cambian, por lo que el valor de la tangente del ángulo también cambia; sin embargo, el valor del cateto adyacente es constante. Si cambiamos el valor del cateto adyacente, los valores del cateto opuesto y el adyacente cambian, sin embargo, el valor de la tangente se mantiene constante. Por otro lado, el valor de la razón depende de la longitud del cateto opuesto y de cateto adyacente. Finamente, me he dado cuenta de que el valor mínimo de la tangente de un ángulo es 0 y el máximo es 57'29.

SA4: Midiendo distancias y ángulos (trigonometría)

El pasado lunes, 8 de enero, hemos empezado en clase una nueva unidad con el fin de conseguir los siguientes objetivos:

1. Calcular todas las razones trigonométricas de un ángulo.

2. Hallar todas las razones trigonométricas de un ángulo a partir de una de ellas.

3. Resolver triángulos rectángulos cuando se conocen dos lados o un lado y un ángulo.

4. Resolver problemas geométricos en los que se precise calcular ángulos y distancias entre dos puntos.

5. Utilizar la calculadora para obtener razones o ángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.

Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

Dibujo del triángulo rectángulo para el cálculo de las razones trigonométricas:

El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).

El coseno se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).

La tangente es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).

Mes bonnes résolutions pour 2018

Nous avons commencé 2018 avec de bonnes résolutions. Mardi dernier, le 9 janvier, nous avons écrit en classe nos résolutions pour cette nouvelle année:



1. Je vais faire du sport parce que je veux être plus fort.
2. Je vais arrêter les ongles parce que je veux avoir una belle main.
3. Je vais être moins nerveux dans les examens pour obtenir meilleur note.
4. Je vais participer plus en classe parce que je veux maintenir ma note.
5. Je vais dépenser moins d'argent dans des choses inutiles parce que c'est une grande erreur.
6. Je vais profiter plus des bons moments avec mes amis et oublier mes problèmes parce que je vais mieux me sentir.
7. Arrêter de manger au McDonald's

Et vous, vous n'avez pas encore rédigé votre liste de bonnes résolutions pour la nouvelle année?, je vous conseille de le faire en utilisant le futur proche, vous savez, le verbe aller à l'indicatif présent suivi de l'infinitif du verbe que vous allez employer:



Voilà un exemple: Cette année je vais apprendre le français.

Le structure: sujet + "aller" (au présent) + infinitif
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