Aplicación de la trigonometría en áreas de polígonos regulares

La resolución de un polígono regular trigonometricamente se puede realizar sabiendo su número de lados y uno de sus lados.

Un polígono regular es un polígono con todos los lados y ángulos iguales.

Supongamos que dicho polígono regular está circunscrito en una circunferencia (C).

Conociendo el número de lados (N) del polígono y uno de sus lados (L), se pueden calcular el radio (r) de la circunferencia en la que está circunscrito, la apotema (ap), el área y el perímetro de éste.

Para hallar la medida en grados que presenta el ángulo central agudo de uno de los triángulos rectángulos tenemos que aplicar la siguiente fórmula:

         360º

a = ----------             Siendo n el número de triángulos que presenta el polígono

             n

CALCULAR LA APOTEMA

Mediante las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) del triángulo OAB, se calcula la apotema (ap) del polígono.

CALCULAR EL RADIO

El radio de la circunferencia circunscrita, al igual que la apotema se calcula mediante las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) del triángulo OAB.

CALCULAR EL ÁREA

El área del polígono regular se calcula mediante la siguiente fórmula:

Sin embargo, existe una manera menos complicado de hallar el área de un polígono regular sin utilizar la anterior fórmula. Pues para ello, tenemos que tener claro que la fórmula para calcular el área de un triángulo rectángulo es:

                                                  Siendo b la base y h la altura del triángulo rectángulo.

En esta fórmula, lo único que tenemos que hacer es sustituir; pues la base del triángulo equivale al perímetro del polígono y la altura del triángulo a la apotema del polígono.

Por otro lado, y muy IMPORTANTE, tenemos que saber que cada lado de un polígono está formado por dos triángulos rectángulos, por lo que en la fórmula del triángulo rectángulo tenemos que multiplicar según el número de triángulos que haya, es decir:

         b ∙ h

A = -------- ∙ (número de triángulos rectángulos que tenga el polígono)

            2

Para hallar el número de triángulos rectángulos que presenta un polígono regular, lo único que tendremos que hacer es multiplicar el número de lados por 2, es decir:

Polígono regular de 5 lados: 5 ∙ 2 = 10 triángulos rectángulos

Polígono regular de 9 lados: 9 ∙ 2 = 18 triángulos rectángulos

Polígono regular de 6 lados: 6 ∙ 2 = 12 triángulos rectángulos

EJEMPLO 1:

La longitud del radio de un pentágono regular es de 15 cm. Calcula el área.

          360º : 10 = 36º

                     c                                         b

sin 36º = ------             cos 36º = ---------

                    15                                       15

                    c                                     b

0'59 = ----------             0'81 = ---------

                  15                                       15

c = 0'59 ∙ 15                     b = 0'81 ∙ 15

c = 8'85 cm                      b = 12'15 cm

            12'15 ∙ 8'85

A = …........................ ∙ 10 = 537'64 cm²

                         2

El área del pentágono es 537'64 cm²