Unidad 3: ¿Dónde viven los irracionales?

1. Los números irracionales son aquellos que tienen infinitas cifras decimales o se escriben bajo una raíz.

Por ejemplo: √2, √3, π,...

2. Dentro de los números irracionales no consideramos lo números periódicos.

Por ejemplo: 0'333..., 3'2444..., -3'85111...

3. Algunos números irracionales que conocemos son:

Por ejemplo: e (2.718281828459045235360…);  π (3.14159265358979323846);  Φ (1.6180339887...)

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS:

«N» son todos los números mayores de cero (algunos incluyen también el 0) que sirven para contar. No pueden tener parte decimal, fraccionaria, ni imaginaria.

Por ejemplo: 1, 2 , 3, 4, 5, 567, 1345...

«Z» incluye al conjunto de los números naturales, al cero* y a sus opuestos (los números negativos).

Por ejemplo: …-2, -1, 0, 1, 2,…

«Q» son aquellos que pueden expresarse como una fracción de dos números enteros.

Por ejemplo: ½, ¼, ¾,...

«R» se definen como todos los números que pueden expresarse en una línea continua, por tanto incluye a los conjuntos anteriores y además a los números irracionales como el número «π» y «e».

NÚMEROS DECIMALES:

1. Decimal exacto a fracción:

                      

2. Decimal periódico puro a fracción:

             

3. Decimal periódico mixto a fracción:

             

Por otro lado, hemos aprendido a convertir un radical en una potencia, a sumar, restar, multiplicar  y dividir radicales y a extraer y introducir factores fuera y dentro del radical, respectivamente.

A continuación, les mostraré algunos ejemplos de lo trabajado y estudiado en clase durante estas últimas semanas:

1. Convertir un radical en potencia:

         

2. Suma y resta de radicales:

3. Multiplicación y división de radicales:

4. Introducir o extraer factores del radical:

                Extraer factores                                                         Introducir factores

                         

                                                    

                    

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES EN LA RECTA REAL:

Sin embargo, estos últimos días, hemos aprendido a representar en la recta real los números irracionales; mediante el teorema de Pitágoras, y los números racionales; mediante el teorema de Thales.

Cabe destacar que a todo número real le corresponde un punto de la recta y todo punto de la recta un número real.

                        

El teorema de Pitágoras manifiesta que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir: para ellos debemos seguir los siguientes pasos:

                                                                   

                                  

Ejemplo: vamos a representar √2, para ellos debemos seguir los siguientes pasos:

√2 = 1,414..., esto quiere decir que √2 se encuentra entre el 1 y el 2.

1º Construir sobre la recta numérica un triángulo rectángulo de 1 cm de ancho y 1 cm de alto, y llamamos x a la hipotenusa.

2º Aplicamos el teorema de Pitágoras:

3º Ya sabemos que el valor de la hipotenusa tiene como valor raíz de 2  luego con la ayuda de un compás podemos representar en la recta el valor de √2 de la siguiente manera.  Con tu compás toma la dimensión de la hipotenusa, que en este caso es √2, y toma como punto inicial el cero. Luego trazas un arco de circunferencia y el punto de corte con la recta  numérica será el valor de raíz de 2 (longitud desde el punto cero al punto P).

                                                             

                     

          

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES EN LA RECTA REAL:

El teorema de Thales manifiesta que, si dos rectas cualquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Ejemplo: vamos a representar ½, para ello debes seguir los siguientes pasos:

1º Debes dividir el segmento en partes iguales:

2º Tendrás que pasar la fracción a número decimal, que en este caso es:

½ = 0'5, esto indica que ½ en la recta se encuentra entre el 0 y el 1. Cabe destacar que siempre que el numerador sea menor que el denominador, siempre va dar 0'....

3º A continuación, traza una recta que parta desde el punto 0 con cualquier inclinación, a  algo parecido a esto:

                                                                  

4º Divide ese segmento según el número que indique el denominado, que en este caso será en 2 partes iguales.

5º Tras la división, deberás unir el último punto del segmento con el 1, y a partir de esa recta, con una escuadra y un cartabón deberás trazar paralelas.

Finalmente, partiendo desde el 0, como indica el numerador, deberás coger tres puntos, esto indica que ½  se encuentra justamente entre el 0 y el 1.

Si no has entendido esta explicación, te dejaré un vídeo para que de esa forma puedas entenderlo mejor.